تربيع الدائرة (الحلقة الأولى)

الدكتور علي تامر دعيبس

درج النّاس على إستعمال عبارة «تربيع الدائرة» للدلالة على صعوبة حلّ مسالة ما. لكنّ تربيع الدائرة مصطلح رياضي ترتبط به مفاهيم أساسيّة. وكي نتمكّن من وضع مادة واضحة بهذا الخصوص يتعيّن أن نتطرّق إلى بعض المفاهيم الرياضيّة ومنها:

1 ـ تربيع المستطيل. لنفترض أنّ لدينا مستطيل M  طوله AB=a وعرضه AD=b. تربيع هذا المستطيل يقتضي أن نرسم بواسطة المسطرة والفرجار مربعاً P طول ضلعه  EF=c بحيث تبلغ مساحته مساحة P أي أنّ C²=ab. وتجدر الإشارة إلى أنّ المسطرة هي أداة رسم الخطوط المستقيمة وأن الفرجار هو أداة رسم طول محدّد إنطلاقاً من نقطة محدّدة. إذاً كي نرسم المرّبع P يتعيّن أن نرسم الطول C إنطلاقاً من معرفة الطول a والعرضb. ولتحقيق هذا الهدف نرسم على خطّ مستقيم النقاط A,B,D,I. حيث AD=b, AB=a النقطة I هي منتصف DI والنقطة T هي نقطة تقاطع الدائرة ذات القطر DB والدائرة ذات القطر AI. إعتبارات هندسيّة بسيطة تبيّن العلاقة AT²=AD,AB. بذلك يكون الطول المطلوب C هو طول AT. وهذا ما ينهي مسألة تربيع المستطيل.

 

2 ـ تربيع المثلّث. نأخذ في الإعتبار مثلّثاً قاعدته BC=a وإرتفاعه AH=h. لنرسم مربعاً P ساحته مساحة المستطيل، أي المربع ذو الضلع EF=c حيث C²=

h 2

.a. نرسم النقطة I، منتصفAH، وهذا الرسم ممكن بواسطة المسطرة والفرجار على نحو ما يعرف كل تلميذ في الصف الثالث ثانوي. وتطبيق ما قلناه بخصوص تربيع المستطيل على مستطيل طوله Bc=a وعرضه BD-AI=h/2 يعطي المرّبع المطلوب P.

3 ـ لنأخذ في الإعتبار مربعاً P مساحته a² ومربعاً Q مساحته b² ولنرسم مربعاً R مساحته c²=a²+b². نرسم بواسطة المسطرة والفرجار مستطيلاً  طوله  AB=a وعرضه AD=b.

فنحصل بمقتضى مبرهنة أرخميدس على العلاقة AC²=AB²+AD²=a²+b² وهذا ما يجعل من AC ضلع المربّع المطلوب.

 

4 ـ نحصل نتيجة ما ذكرناه سابقاً على المبرهنة الهامة التاليّة:

كل شكل هندسي محيطه خطّ متكسّر له مساحة تقبل التربيع. بالفعل، نقسّم هذا الشكل إلى مثلثات. نربّع المثلّثات وفق ما جاء في الرقم 2 أعلاه. ثمّ نربّع المربعّات، الأول مع الثاني وفق ما جاء في الرقم 3، والنتيجة مع الثالث، وهكذا دواليك.

 

5 ـ تربيع الدائرة. تتحدّر الدائرة C بنقطة O هي مركز هذه الدائرة وبعدد حقيقي a=DM هو شعاع الدائرة حيث M نقطة ما على محيط C. مساحة الدائرة C تساوي a²∏ حيث ∏ عدد ثابت هو نسبة طول محيط الدائرة على قطرها، مهما يكن طول الشعاع DM=a. وكي نربّع الدائرة يتعيّن أن نرسم بواسطة المسطرة والفرجار مربّعاً تساوي مساحته مساحة هذه الدائرة. وإذا اعتبرنا أنّ طول شعاع الدائرة OM=a=1، يكون تربيع الدائرة يتطابق مع رسم مربّع P ضلعه b حيث b²=∏.

شغلت هذه المسألة الرياضيين والمفكرّين دهوراً. ولا عجب في ذلك، فالدائرة شكل هندسي بسيط عرفه الإنسان منذ القدم. وتوجد دلائل على هذه المعرفة يرقى تاريخها إلى أكثر من اربعة آلاف عام. من هذه الدلائل ما جاء في التوراة من نصّ يقتضي أن يكون العدد ∏ يساوي 3.

وما جاء في ورقة بردى في مصر من مسائل تقتضي أن يكون العدد ∏ يساوي 3,16. هذا العدد الأخير يشكل قيمة تقريبيّة للعدد ∏ أكثر دقّة من القيمة التقريبيّة التي يشكلّها العدد 3.

الدراسات التي تدخل فيها الدوائر، وبالتالي العدد∏، أكثر من أن تُحصى، وفي زمن الإغريق حيث إعتبرت الهندسة أساس الرياضيات نجد الدوائر والمخروطيات في صلب أعمال رياضيي تلك الأيام. لكنّ المعارف الرياضيّة لم تكن قادرة بعد على حلّ مسألة تربيع الدائرة. بقيت هذه المسألة دون حلّ إلى أن جاء القرن الثامن عشر حيث بدأت إنطلاقة الرياضيات الحديثة. ومن المجالات الأساسيّة لهذه الرياضيات نظرية الأعداد الحقيقيّة التي لم تأخذ شكلها النهائيّ إلاّ في الربع الأخير من القرن التاسع عشر. ومن المسائل التي تعالجها هذه النظريّة الشروط الواجبة والكافيّة كي يكون عدد حقيقي يقبل الرسم بواسطة المسطرة والفرجار. بيّنت دراسة هذا الموضوع أنّ العدد∏  لا يقبل رسماً كهذا وبالتالي، من غير الممكن تربيع الدائرة. على أنّه مسألة صعبة فحسب. بل مسألة مستحيلة.

6 ـ الجذر التكعيبي للعدد 2 أي العدد  أو ⅓2. أثبتت الدراسات أن هذا العدد، رغم بساطته، لا يقبل الرسم بواسطة المسطرة والفرجار. وبناء عليه، يستحيل أن نرسم مكعبّاً حجمه 2. وترتبط بهذه المسألة قصّة طريفة. إجتاح وباء الطاعون أثينا الإغريقيّة حاصداً نصف السكان. إختار النّاس أمرهم، فذهبت مجموعة منهم إلى الكاهن الأكبر تسأله الرأي والمشورة. كان جوابه بكل بساطة، عليكم أن تضاعفوا حجم المذبح ذي الشكل المكعّب. ضاعف الأثينيون ضلع المذبح القائم فحصلوا بذلك على مذبح حجمه ثمانيّة أضعاف حجم المذبح الأصليّ. لكن الطاعون لم يتوقف عن قتل النّاس. أمّا مضاعفة حجم المذبح فمسألة مستحيلة بناء على عدم أمكانيّة رسم العدد.

بقي أن نقول أننا سنتطرق في مقالة أخرى إلى بعض جوانب العدد∏ التي تبيّن أنّ الحقائق الرياضيّة قد تكون غريبة حقاً.

 

زيتون 4/6/2011م.

 

السيرة الذاتية:

علي تامر دعيبس ـ دكتور متقاعد.

مواليد زيتون سنة 1941م.

ـ حاصل على الشهادات التالية:

البكالوريا اللبنانيّة في العام 1964م.

الإجازة في الرياضيات من كلية العلوم في الجامعة اللبنانيّة سنة 1968م، دكتوراه حلقة ثالثة في الرياضيات من جامعة ليون في فرنسا سنة 1971م، ودكتوراه دولة من الجامعة نفسها في العام 1976م، وكان الحصول على هاتين الشهادتين بدعم من كلية العلوم كموفد للتخصص في الخارج.

نشر عدّة أبحاث رياضيّة في فرنسا وفي تشيكوسلوفاكيا وفي بلجيكا.

ـ شارك في مختلف اللجان الأكاديميّة في كلية العلوم في الجامعة اللبنانيّة، حيث قدّم عدداً من الدراسات والمقترحات، في مجالات الأبحاث والتدريس والبرامج والتنظيم.

ـ درّس مواد التحليل الرياضي في كلية  العلوم وفي معهد  العلوم التطبيقيّة وفي جامعة ليون في فرنسا.

ـ إهتماماته الحاليّة تتركّز على ترجمة وتأليف رياضيات باللغة العربيّة.